柯西不等式应用  
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用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。在一个式子中的数的关联,不全是等号,含不等符号的式子，那它就是一个不等式.例如2x＋2y≥2xy，sinx≤1，ex＞0 ，2x＜3，5x≠5等 。 不等式分为严格不等式与非严格不等式。个别地，用纯洁的大于号、小于号“＞”“＜”衔接的不等式称为严厉不等式，用不小于号（大于或即是号）、不大于号（小于或等于号）≥”“≤”连接的不等式称为非严格不等式，或称狭义不等式。
河北张春祥不等式证明方法  
不等式(inequality)简介不等式的最基本性质解不等式可遵守的一些同解原理留神事项不等式证明方法重要不等式柯西不等式排序不等式其余重要不等式例题例1例2例3 不等式(inequality)简介 用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。在一个式子中的数的关系,不全是等号,含不等符号的式子，那它就是一个不等式.例如2x＋2y≥2xy，sinx≤1，ex＞0 ，2x＜3，5x≠5等 。根据解析式的分类也可对不等式分类，不等号两边的解析式都是代数式的不等式，称为代数不等式；也分一次或屡次不等式。只有有一边是超出式，就称为超越不等式。例如lg(1＋x)＞x是超越不等式。 不等式分为严格不等式与非严格不等式。正常地，用纯粹的大于号、小于号“＞”“＜”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）、不大于号（小于或等于号） “≥”“≤”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。 通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般情势为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )（其中不等号也可认为＜，≥，＞ 中某一个），两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既能够表白一个命题，也可以表现一个问题。不等式的最基础性质 ①如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y； ②如果x＞y，y＞z；那么x＞z； ③如果x＞y，而z为任意实数或整式，那么x＋z＞y＋z； ④ 如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz; ⑤假如x＞y，z＞0,那么x÷z＞y÷z;如果x＞y，z＜0,那么x÷z＜y÷z。 ⑥如果x＞y，m＞n，那么x+m＞y+n(充足不用要条件) ⑦如果x＞y＞0，m＞n＞0，那么xm＞yn ⑧如果x＞y＞0，那么x的n次幂＞y的n次幂（n为正数） 如果由不等式的基天性质出发，通过逻辑推理，可以论证大批的初等不等式，以下是其中比较著名的。解不等式可遵循的一些同解原理 主要的有： ①不等式F（x）＜ G（x）与不等式 G（x）＞F（x）同解。 ②如果不等式F（x） ＜ G（x）的定义域被解析式H（ x ）的定义域所包含，那么不等式 F（x）＜G（x）与不等式F（x）＋H（x）＜G（x）＋H（x）同解。 ③如果不等式F（x）＜G（x） 的定义域被解析式H（x）的定义域所包括，并且H（x）＞0，那么不等式F(x)＜G（x）与不等式H（x）F（x）＜H（ x ）G（x） 同解
上海安装发票；如果H（x）＜0，那么不等式F（x）＜G（x）与不等式H (x)F（x）＞H（x）G（x）同解。 ④不等式F（x）G（x）＞0与不等式同解；不等式F（x）G（x）＜0与不等式同解。注意事项 1.符号： 不等式两边都乘以或除以一个负数，要改变不等号的方向。 2.断定解集： 比两个值都大，就比大的还大； 比两个值都小，就比小的还小； 比大的大，比小的小，无解； 比小的大，比大的小，有解在中间。 三个或三个以上不等式组成的不等式组，可以类推。 3.另外，也可以在数轴上肯定解集： 把每个不等式的解集在数轴上表示出来，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集。有多少个就要几个。 4.不等式两边相加或相减，统一个数或式子，不等号的方向不变。（移项要变号） 5.不等式两边相乘或相除，同一个正数，不等号的方向不变。（相称系数化1，这是得正数才干使用） 6.不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向转变。（÷或×1个负数的时候要变号）不等式证明方法 1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方式之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比拟法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。 (1)差值比较法的理论依据是不等式的根本性质：“a-b≥0a≥b；a-b≤0a≤b”。其一般步骤为：①作差：考核不等式左右两边形成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的要害，配方和因式分解是时常使用的变形手腕；③判定：依据已知条件与上述变形成果，断定不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的论断。运用范畴：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。 (2)商值比较法的理论依据是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b；a/b≤1a≤b”
开南京商品销售统一发票。其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判断商大于1或小于1。应用规模：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，普通应用商值比较法。 2.综正当应用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基本，借助不等式的性质跟有关定理，经由逐渐的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特色和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：AB1 B2 B3… BnB，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。 3.分析法分析法是指从需证的不等式动身，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为断定那个前提是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步聚拢“已知”。用分析法证明AB的逻辑关系为：BB1B1 B3 … BnA，书写的模式是：为了证明命题B成立，只要证明命题B1为真，从而有…，这只需证实B2为真，从而又有…，……这只需证明A为真，罢了知A为真，故B必为真。这种证题模式告知我们，剖析法证题是步步追求上一步成立的充分条件。 4.反证法有些不等式的证明，从正面证不好说明白，可以从正难则反的角度斟酌，即要证明不等式A>B，先假设A≤B，由题设及其它性质，推出抵触，从而确定A>B。凡波及到的证明不等式为否认命题、惟一生命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法。 5.换元法换元法是对一些构造比较庞杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启发和办法。主要有两种换元形式。(1)三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示。此法如果运用适当，可沟通三角与代数的接洽，将复杂的代数问题转化为三角问题根据详细问题，实行的三角代换方法有：①若x2+y2=1，可设x=cosθ，y=sinθ；②若x2+y2≤1，可设x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1)；③对于含有的不等式，因为|x|≤1，可设x=cosθ；④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知，可设x=taaA，y=tanB，z=tanC，其中A+B+C=π。(2)增量换元法：在对称式(任意交流两个字母，代数式不变)和给定字母次序(如a>b>c等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目标是通过换元到达减元，使问题化难为易，化繁为简。如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t进行换元。 6.放缩法放缩法是要证明不等式A<B成立不轻易，而借助一个或多个旁边变量通过恰当的放大或缩小达到证明不等式的方法。放缩法证明不等式的理论根据重要有：(1)不等式的传递性；(2)等量加不等量为不等量；(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较。常用的放缩技能有：①舍掉(或加进)一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；③利用均值不等式进行放缩。[1]重要不等式柯西不等式 对于2n个任意实数x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn，恒有 （x1y1＋x2y2＋…＋xnyn)^2≤（x1^2＋x2^2＋…＋xn^2）（y1^2＋y2^2＋…＋yn^2） 柯西不等式的几种变形形式 1.设aiÎR,bi>0 (i=1,2,…,n)则，当且仅当bi=lai (1£i£n)时取等号 2.设ai,bi同号且不为零(i=1,2,…,n)，则，当且仅当b1=b2=…=bn时取等 柯西不等式的一般证法有以下几种： ①Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分辨是ai, bi，则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2. 我们令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2) 则咱们晓得恒有 f(x) ≥ 0. 用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0. 于是移项得到结论。 ②用向量来证. m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn) mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosX． 因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2 这就证明了不等式． 柯西不等式还有良多种
重庆开会务发票，这里只取两种较常用的证法． 【柯西不等式的应用】 柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是常常使用的实践根据，我们在教养中应给予极大的器重。 巧拆常数： 例：设a、b、c 为正数且各不相等。 求证： (2/a+c)+(2/b+c)+(2/c+a)＞(9/a+b+c) 分析：∵a 、b 、c 均为正数 ∴为证结论准确只需证：2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]＞9 而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b) 又 9=(1+1+1)(1+1+1) 证明2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9 又 a、b 、c 各不相等，故等号不能成破 ∴原不等式成立。 [2]排序不等式 对两组有序的实数x1≤x2≤…≤xn，y1≤y2≤…≤yn，设yi1，yi2，…，yin是后一组的任意一个排列， 记S＝x1yn＋x2yn-1＋…＋xny1，M＝x1yi1＋x2yi2＋…＋xnyin，L＝x1y1＋x2y2＋…＋xnyn，那么恒有S≤M≤L。其他主要不等式 琴生不等式 均值不等式 相对值不等式 权方和不等式 赫尔德不等式 闵可夫斯基不等式 贝努利不等式例题例1 :判断下列命题的虚实,并说明理由. 若a>b,c=d,则ac2>bd2;(假,由于c.d符号不定) 若a+c>c+b,则a>b;(真) 若a>b且ab<0,则;(假) 若a若,则a>b;(真) 若|a|b2;(充要条件) 解释:本题请求学生实现一种标准的证明或解题进程,在完善解题规范的过程中完美本身逻辑思维的周密性.例2 ：a,b∈R且a>b,比较a3-b3与ab2-a2b的大小.(≥) 说明:强调在最后一步中,阐明等号取到的情形,为今后基本不等式求最值作思维筹备.例3 :设a>b,n是偶数且n∈N*
广州安装发票,试比较an+bn与an-1b+abn-1的大小. 说明:本例条件是a>b,与正值不等式乘方性质比拟在于缺乏了a,b为正值这一条件,为此我们必需对a,b的取值情况加以分类讨论.因为a>b,可由三种情况(1)a>b≥0;(2)a≥0>b;(3)0>a>b.由此得到总有an+bn>an-1b+abn-1.通过本例可以开端浸透分类探讨的数学思维 词条图册更多图册 参考材料 1
不等式
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